1. 用定义求函数$y=x^3$ 在x=1处的导数.

知识点:函数在某点处导数的定义

思路: 按照三个步骤:(1)求增量;(2)算比值;(3)求极限

$\Delta y = (1+\Delta x)^3 - 1^3 = 3\Delta x + 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = 3 + 3\Delta x + (\Delta x)^2$

$y'|_{x=1} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3 + 3\Delta x + (\Delta x)^2) = 3$

导数与微分习题（含解析）

下面给出 25 道 覆盖常见与重要知识点的练习题，按难度与主题穿插：基本求导法则、乘商链规则、隐函数与参数方程、微分与线性近似、高阶导数、罗尔/拉格朗日中值定理、泰勒展开、洛必达法则、极值与最值、相关变化率等。每题后给出详细解析与最终答案。可以直接复制到 Markdown 编辑器中阅读或打印。

目录

1. 基本求导规则（1–6）
2. 链式法则、乘商法则（7–10）
3. 隐函数、参数与极坐标求导（11–14）
4. 高阶导数与泰勒展开（15–18）
5. 微分、线性化、误差估计（19–20）
6. 应用题：极值、最值、相关变化率（21–25）

1. 基本求导规则

题 1

求函数 $f(x)=3x^4-5x^2+7x-9$ 的导数 $f'(x)$。

解析： 多项式按幂函数求导：$(x^n)'=n x^{n-1}$。

答案： $12x^3-10x+7$.

题 2

求 $g(x)=\sqrt{x}=\;x^{1/2}$ 在 $x>0$ 时的导数。

解析： 幂函数求导：$(x^{1/2})'=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$。

答案： $g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$（$x>0$）。

题 3

求 $h(x)=\dfrac{1}{x^3}$（$x\neq0$）的导数。

解析： 写成幂形式 $x^{-3}$，求导得到 $-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$。

答案： $h'(x)=-\dfrac{3}{x^4}$。

题 4

求 $p(x)=e^{2x}$ 的导数。

解析： $(e^{u})' = u' e^{u}$，这里 $u=2x, u'=2$。

所以 $p'(x)=2e^{2x}$。

答案： $2e^{2x}$。

题 5

求 $q(x)=\ln(x^2+1)$ 的导数（定义域 $x\in\mathbb{R}$）。

解析： $(\ln u)' = u'/u$，这里 $u=x^2+1$，所以 $u'=2x$。

答案： $\dfrac{2x}{x^2+1}$。

题 6

求三角函数 $r(x)=\sin x\cos x$ 的导数（可用积化公式或直接乘法求导）。

解析（直接乘法求导）： $(\sin x\cos x)'=(\sin x)'\cos x+\sin x(\cos x)'=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)=\cos^2x-\sin^2x$。

也可写成 $\cos 2x$。

答案： $\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x$。

2. 链式法则、乘商法则

题 7

求 $f(x)=\sin(x^2)$ 的导数。

解析： 链式法则：若 $f(x)=\sin(u)$, $u=x^2$，则 $f'(x)=\cos(u)\cdot u'=\cos(x^2)\cdot 2x$。

答案： $f'(x)=2x\cos(x^2)$。

题 8

求 $y=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ 的导数（商法则）。

解析： 若 $y=\dfrac{u}{v}$，则 $y'=\dfrac{u' v - u v'}{v^2}$。取 $u=x^2+1, u'=2x$。 $v=x-1, v'=1$。

答案： $\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$。

题 9

求 $y=\arctan(3x)$ 的导数。

解析： $(\arctan u)'=\dfrac{u'}{1+u^2}$。这里 $u=3x$，$u'=3$。

所以 $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$。

答案： $\dfrac{3}{1+9x^2}$。

题 10

求 $y=(\cos x)^{5}$ 的导数。

解析： 复合函数：$y=u^5, u=\cos x$。$y'=5u^4\cdot u' =5\cos^4 x \cdot (-\sin x) = -5\cos^4 x \sin x$。

答案： $-5\cos^4 x\sin x$。

3. 隐函数、参数与极坐标求导

题 11（隐函数求导）

由方程 $x^2 + xy + y^2 = 7$ 隐含 $y=y(x)$，求 $dy/dx$。

解析： 对等式两边对 $x$ 求导，记 $y$ 为 $x$ 的函数：

整理含 $y'$ 项：

所以

答案： $\displaystyle y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$。

题 12（参数方程）

设参数方程 $x=t^2+1,\; y=t^3- t$。 求 $\dfrac{dy}{dx}$ 及在 $t=1$ 处的切线斜率。

解析： $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$（前提 $t\neq0$；若 $t=0$ 单独处理）。

在 $t=1$：

答案： $\dfrac{3t^2-1}{2t}$，在 $t=1$ 斜率为 $1$。

题 13（极坐标求导）

极坐标下曲线由 $r=2\cos\theta$ 给出，求在任意 $\theta$ 处的直角坐标形式的斜率 $\dfrac{dy}{dx}$。

解析： 极坐标到直角坐标：$x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta$。对 $\theta$ 求导：

先计算 $r'=\dfrac{dr}{d\theta}=-2\sin\theta$。有

因此

答案： $\dfrac{dy}{dx}=-\cot 2\theta$（当分母非零时）。

题 14（隐函数求高阶）

隐函数 $x^2 + y^2 = 1$，求 $d^2y/dx^2$（假设取上半圆 $y>0$）。

解析： 一阶导：$2x+2y y' =0 \Rightarrow y' = -\dfrac{x}{y}$.

二阶导用商法或微分：对 $y'=-x/y$ 对 $x$ 求导：

代入 $y'=-x/y$：

由于 $x^2+y^2=1$，所以

答案： $\displaystyle y''=-\frac{1}{y^3}$（对上半圆 $y>0$ 有定义）。

4. 高阶导数与泰勒展开

题 15

求函数 $f(x)=\sin x$ 在 $x=0$ 处的二阶和三阶导数值 $f''(0), f^{(3)}(0)$。

解析： 导数序列： $f'=\cos x$， $f''=-\sin x$， $f^{(3)}=-\cos x$。在 $x=0$：

$f''(0)=-\sin 0 =0$， $f^{(3)}(0)=-\cos 0 = -1$。

答案： $f''(0)=0,\quad f^{(3)}(0)=-1$。

题 16（泰勒）

将 $e^x$ 在 $x=0$ 处展开到三阶（含三阶）并写出余项的阶数表示。

解析： 指数函数泰勒展开：

余项 $R_4(x)=O(x^4)$ 或按拉格朗日余项写为 $\dfrac{e^\xi}{4!}x^4$（某 $\xi$ 在 $0$ 与 $x$ 之间）。

答案： $1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+O(x^4)$。

题 17（高阶导数）

求 $f(x)=\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处的一阶至四阶导数并写出通项规律（若可能）。

解析： $f'(x)=\dfrac{1}{1+x}$。连续求导得到：

• $f'(x)=(1+x)^{-1}$
• $f''(x)=-1(1+x)^{-2}$
• $f^{(3)}(x)=(-1)(-2)(1+x)^{-3}=2!(1+x)^{-3}$ 带符号应为 $+2!(1+x)^{-3}$ 但注意符号交替，仔细计算通项：

更稳妥地： $f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}$ 对 $n\ge1$。

在 $x=0$：

因此： $f'(0)=1$, $f''(0)=-1$, $f^{(3)}(0)=2$, $f^{(4)}(0)=-6$。

答案： $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!$。

题 18（导数存在性）

判断函数 $f(x)=\begin{cases}x^2\sin(1/x), & x\neq 0\\ 0,& x=0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处是否可微，并求导数。

解析： 计算商定义或用极限：$f'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{h^2\sin(1/h)}{h}= \lim_{h\to0} h \sin(1/h)$.

因为 $|h\sin(1/h)|\le|h|\to 0$，极限为 0。

因此可微，且 $f'(0)=0$。

答案： 在 0 处可微，导数为 0。

5. 微分、线性化、误差估计

题 19（微分与近似）

用微分近似估计 $\sqrt{4.05}$ 的近似值（保留四位小数）。

解析： 令 $f(x)=\sqrt{x}$，在 $x_0=4$ 处做一次线性近似。$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$。于是

近似增量 $df = f'(4)\Delta x = 0.25\times 0.05 = 0.0125$。

可以验证实际值约 $2.012461\ldots$，我们的近似保留四位小数写 $2.0125$。

答案： 约 $2.0125$。

题 20（微分误差界）

估计用 $f(x)=\ln x$ 在 $x_0=1$ 线性近似去近似 $\ln(1.2)$ 时的余项上界（使用拉格朗日余项或二阶项估计，给出一个简单上界）。

解析： $\ln x$ 的二阶导为 $f''(x)=-1/x^2$。拉格朗日二阶余项近似形式：

对某 $\xi$ 在 $1$ 与 $1.2$ 之间。其绝对值上界可用区间 $[1,1.2]$ 内 $|f''(x)| = 1/x^2$ 的最大值。因为 $1/x^2$ 在区间内单调递减，最大值为 $1/1^2=1$。

于是

（真实误差远小于此界，但这是简单的上界估计。）

答案： 余项绝对值 $|R_2|\le 0.02$。

6. 应用：极值、最值、相关变化率 等

题 21（极值判别）

求 $f(x)=x^3-3x+1$ 的极值点并判别（极大/极小）。

解析： 求导： $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$。令 $f'(x)=0$ 得 $x=\pm1$。

二阶导： $f''(x)=6x$。在 $x=1$： $f''(1)=6>0$，所以 $x=1$ 为局部极小值；在 $x=-1$： $f''(-1)=-6<0$，所以 $x=-1$ 为局部极大值。

对应函数值： $f(1)=1-3+1=-1$， $f(-1)=-1+3+1=3$。

答案： 在 $x=1$ 有局部极小值 $-1$；在 $x=-1$ 有局部极大值 $3$。

题 22（全局最值）

求在闭区间 $[0,2]$ 上函数 $f(x)=x\ln x$ 的最大值与最小值（约定 $0\ln0=0$）。

解析： 先求导 $f'(x)=\ln x +1$。临界点解 $\ln x +1=0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}\approx0.3679$。这个点在 $[0,2]$ 内。还需检查端点 $x=0,2$。

函数值：

• $f(0)=0$（按极限定义）
• $f(1/e)=(1/e)(\ln(1/e))=(1/e)(-1)=-1/e\approx -0.3679$
• $f(2)=2\ln2\approx 2\cdot0.6931=1.3862$

最小值为 $-1/e$ 在 $x=1/e$，最大值为 $2\ln2$ 在 $x=2$。

答案： 最小值 $-1/e$（在 $x=1/e$）；最大值 $2\ln2$（在 $x=2$）。

题 23（相关变化率）

水以垂直速度 $10\ \text{cm/s}$ 充入一个圆锥形容器，容器顶朝下，高 $H=30\ \text{cm}$，底面半径 $R=10\ \text{cm}$。求水深 $h$ 为 $15\ \text{cm}$ 时，水面半径 $r$ 的变化率 $dr/dt$。

解析： 圆锥相似比： $r/h = R/H = 10/30 = 1/3$。因此 $r = \dfrac{h}{3}$。对时间求导： $dr/dt = \dfrac{1}{3} dh/dt$。已知 $dh/dt=10\ \text{cm/s}$。

所以 $dr/dt = \dfrac{10}{3}\ \text{cm/s}\approx 3.333\ \text{cm/s}$。

答案： $dr/dt=\dfrac{10}{3}\ \text{cm/s}$。

题 24（洛必达）

求极限 $\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x - x}{x^3}$。

解析： 分子与分母同时趋于 0（分子以 $x^3$ 的阶量级收敛），可用泰勒或洛必达。用泰勒展开更快：

$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} + \cdots$。因此

除以 $x^3$ 得 $-\dfrac{1}{6} + O(x^2)$，极限为 $-\dfrac{1}{6}$。

答案： $-\dfrac{1}{6}$。

题 25（拉格朗日中值定理应用）

设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续且在 (0,2) 可导，且满足 $f(0)=1, f(2)=5$。证明存在 $c\in(0,2)$ 使得 $f'(c)=2$。

解析： 由拉格朗日中值定理（均值定理）：存在 $c\in(0,2)$ 使得

答案： 直接应用拉格朗日中值定理，结论成立。

附：练习小结（按知识点索引）

• 求导基本规则：题 1、2、3、4、5、6
• 链式法则 / 乘商法则：题 7、8、9、10
• 隐函数 / 参数 / 极坐标：题 11、12、13、14
• 高阶导数 / 泰勒 / 导数存在性：题 15、16、17、18
• 微分 / 线性化 / 误差估计：题 19、20
• 极值 / 全局最值 / 相关变化率 / 洛必达 / 中值定理：题 21–25