高等数学：极限与连续

一、极限

极限是用来描述函数在某一点附近的行为。换句话说，它是我们研究一个函数当输入值无限接近某个特定值时，函数值的趋势。

举个例子

假设我们有一个函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$。我们想知道当 $x$ 趋近于 1 时函数 $f(x)$ 的值是什么。直接代入 $x = 1$ 会导致分母为零，无法求值。

但是，如果我们查看 $x$ 接近 1 时 $f(x)$ 的行为，可以得到：

• 当 $x = 0.9$ 时，$f(0.9) = 4.9$
• 当 $x = 0.99$ 时，$f(0.99) = 4.99$
• 当 $x = 1.01$ 时，$f(1.01) = 5.01$

从这些值来看，随着 $x$ 越来越接近 1，$f(x)$ 的值越来越接近 5。所以我们可以说：

$\lim_{x \to 1} f(x) = 5$

这就是极限的含义。

二、连续

连续是用来描述函数的一个特性：如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，那么我们就说这个函数在该点是连续的。

具体说法

一个函数 $f(x)$ 在点 $a$ 连续的条件是：

1. $f(a)$ 存在（即该点有定义）。
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在。
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

举个例子

想象有一个简单的函数 $g(x) = x^2$。我们来看看它在 $x = 2$ 的连续性：

1. $g(2) = 4$ 存在。
2. $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$（因为当 $x$ 趋近于 2 时，$g(x)$ 的值也趋近于 4）。
3. $\lim_{x \to 2} g(x) = g(2)$。

因此，$g(x)$ 在 $x = 2$ 是连续的。

相反，如果一个函数在某一点的极限值与该点的函数值不相等，或者函数在该点没有定义，那么这个函数在该点就是不连续的。

总结

• 极限是研究函数在某一点附近的行为。
• 连续是描述函数在某一点是否“平滑”而没有中断。

理解这两个概念是学习微积分的重要基础，它们帮助我们更好地分析函数的行为和变化。希望这个解释能对您有所帮助！如果还有其他问题或需要更深入的解释，请随时问我！